{"id":857,"date":"2026-04-14T09:58:12","date_gmt":"2026-04-14T07:58:12","guid":{"rendered":"https:\/\/thurow.de\/?p=857"},"modified":"2026-04-15T17:53:35","modified_gmt":"2026-04-15T15:53:35","slug":"numerik-schlaegt-manchmal-analytik-teil-1","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/thurow.de\/?p=857","title":{"rendered":"Numerik schl\u00e4gt manchmal Analytik Teil 1"},"content":{"rendered":"\n

Ob Verzeichnungen<\/a> von Objektiven bestimmen, Vermessungsger\u00e4te kalibrieren oder Aufma\u00dftechniken statistisch korrekt verbinden, die Methode der kleinsten Fehlerquadrate<\/a> und der aufbauenden Verfahren der geod\u00e4tischen Ausgleichungsrechnung<\/a> (pr\u00e4ziser L2-Norm) sind praktisch alternativlos.<\/p>\n\n\n\n

Grundlage ist die mathematische Beschreibung von geometrischen Messwerten und Abh\u00e4ngigkeiten.
Dazu zwei Beispiele:<\/p>\n\n\n\n

Der Abstand zweier Punkte kann modelliert werden als:<\/p>\n\n\n\n

\\[
l_k + v_k = \\sqrt{(x_i – x_j)^2 + (y_i – y_j)^2 + (z_i – z_j)^2}
\\]\n\n\n\n

Theoretisch(!<\/strong>) k\u00f6nnte darauf nun eine Bedingungsgleichung abgeleitet werden, welche fordert, dass zwei Punkte als Lot \u00fcbereinander liegen (ACHTUNG, NIEMALS SO VERWENDEN!<\/strong>):<\/p>\n\n\n\n

\\[
g(k) =\\sqrt{(x_i – x_j)^2 + (y_i – y_j)^2} = 0
\\]\n\n\n\n

Beobachtungs- und Bedingungsgleichungen bilden zusammen das funktionale Model. Sie beschreiben die mathematischen Abh\u00e4ngigkeiten zwischen Parametern.<\/p>\n\n\n\n

Hinzu kommt das stochastische Modell. Dieses beschreibt statistische Merkmale von Messwerten und Abh\u00e4ngigkeiten zwischen ihnen. In diesem Modell werden z.B. die Genauigkeiten von Messwerten abgebildet.<\/p>\n\n\n\n

Die Ausgleichungsrechnung dient bildhaft beschrieben dazu, ein geometrisches Abbild der Realit\u00e4t dieser immer weiter anzun\u00e4hern im Sinne von Genauigkeit. Die Ausgleichungsrechnung \u00e4ndert nicht die Topologie des Modells, sondern lediglich Parameter wie etwa die Werte von Punktkoordinaten oder Richtungsvektoren.<\/p>\n\n\n\n

Das bedeutet, es muss vor einer Ausgleichungsrechnung als Basis bereits ein topologisch korrektes Modell vorliegen, mit geometrisch zumindest grob plausiblen Initialwerten (N\u00e4herungswerte).<\/p>\n\n\n\n

Die verschiedenen Verfahren der Ausgleichungsrechnung unterscheiden sich in den mathematischen Methodiken, wie Beobachtungs- und Bedingungsgleichungen modelliert und dann von ihnen zur konkreten \u00c4nderung an der Geometrie gelangt wird.<\/p>\n\n\n\n

Praktisch f\u00fchrt dieser Weg immer \u00fcber eine Linearisierung<\/a> der Beobachtungs- und Bedingungsgleichungen. Vor allen Beobachtungsgleichungen liegen in der Regel nichtlinear vor. Und genau hier liegt sozusagen der Pferdefu\u00df. Die Linearisierung hat weitreichende Folgen f\u00fcr alle Schritte der Ausgleichungsrechnung.<\/p>\n\n\n\n

Pr\u00e4zise formuliert wird das Ausgangsmodell durch Linearisierung in ein lineares Modell mit den ersten Ableitungen (Jacobi-Matrix<\/a>) \u00fcberf\u00fchrt. Um es bildhaft zu machen: Entscheidend ist, zu verstehen, in welche Richtung Parameter ver\u00e4ndert werden m\u00fcssen,<\/strong> damit sich das Modell Messungen ann\u00e4hert. Dazu wird das Problem lokal vereinfacht. Die Methode betrachtet, wie sich kleine \u00c4nderungen der Parameter auf das Ergebnis auswirken. Aus dieser Information ergibt sich eine Richtung, in der sich die Abweichungen verringern.<\/p>\n\n\n\n

Daraus ergeben sich zwei Problemstellungen<\/p>\n\n\n\n