{"id":864,"date":"2026-04-14T10:57:32","date_gmt":"2026-04-14T08:57:32","guid":{"rendered":"https:\/\/thurow.de\/?p=864"},"modified":"2026-04-15T17:43:16","modified_gmt":"2026-04-15T15:43:16","slug":"numerik-schlaegt-manchmal-analytik-teil-2","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/thurow.de\/?p=864","title":{"rendered":"Numerik schl\u00e4gt manchmal Analytik Teil 2"},"content":{"rendered":"\n

Der erste Teil dieser Reihe<\/a> f\u00fchrte in die Problematiken von Singularit\u00e4ten und Linearisierung von Beobachtungs- und Bedingungsgleichungen ein. In diesem Beitrag steht ihre numerisch stabile Modellierung im Mittelpunkt.<\/p>\n\n\n\n

Im ersten Teil wurde gezeigt, wie der Abstand zweier Punkte modelliert werden kann als:<\/p>\n\n\n\n

\\[
l_k + v_k = \\sqrt{(x_i – x_j)^2 + (y_i – y_j)^2 + (z_i – z_j)^2}
\\]\n\n\n\n

Diese Modellierung ist offensichtlich gut geeignet, solange keine Entfernung \\( l_k = 0 \\) vorliegt. Liegen beide Punkte deckungsgleich, kann keine lokale Ableitung und damit keine „Richtung“ mehr abgeleitet werden. Ein m\u00f6glicher Denkfehler k\u00f6nnte lauten, in diesem Fall ist doch bereits der Zielzustand erreicht. Als nicht st\u00f6rend. Das Problem: solange noch „Energie“ im Gesamtnetz vorliegt, werden genau jetzt die Punkte wieder auseinandergezogen. Im n\u00e4chsten Schritt liegen wieder lokale Ableitungen vor. Die Punkte bewegen sich wieder aufeinander zu. Das Netz beginnt zu oszillieren.<\/p>\n\n\n\n

Im ersten Teil wurde auch das Beispiel einer Bedingungsgleichung eingef\u00fchrt, zwei Punkte sollen als Lot \u00fcbereinanderliegen. Es wurde dabei bereits als Beispiel f\u00fcr eine UNBRAUCHBARE <\/strong>Modellierung gezeigt: <\/p>\n\n\n\n

\\[
g(k) =\\sqrt{(x_i – x_j)^2 + (y_i – y_j)^2} = 0
\\]\n\n\n\n

Nun wird auch ersichtlich, warum. Genau im Zielzustand \\(g_k = 0 \\) versagen die lokalen Ableitungen. Dieses Dilemma ist bei der geod\u00e4tischen Ausgleichungsrechnung keineswegs selten. Einerseits m\u00f6chte man statistisch korrekt modellieren, andererseits macht hier die Numerik oft einen Strich durch die Rechnung.<\/p>\n\n\n\n

In unserem Fall ist eine \u00fcbliche bew\u00e4hrte L\u00f6sung eine Splittung in zwei Gleichungen:<\/p>\n\n\n\n

\\[
\\begin{aligned}
x_i – x_j = 0 \\\\
y_i – y_j = 0
\\end{aligned}
\\]\n\n\n\n

Diese L\u00f6sung ist numerisch robust, da ohne Singularit\u00e4ten und linear.<\/p>\n\n\n\n

In anderen F\u00e4llen muss der Preis der Erwartungstreue gar nicht gezahlt werden. Im Beitrag „Einsatz von Transformationsmatrizen in der Technik von Vermessungsger\u00e4ten<\/a>“ wurden die inhomogene und homogene Form von Quaternionen zur Modellierung von Rotationen gezeigt:<\/p>\n\n\n\n

Inhomogene Form (h\u00e4ufig in der Computergrafik \/-geometrie):
$$
M_R =
\\left(
\\begin{array}{cccc}
1 – 2 \\left( {q_y}^2 + {q_z}^2 \\right) & 2 \\left( q_x q_y – q_w q_z \\right) & 2 \\left( q_w q_y + q_x q_z \\right) & 0 \\\\
2 \\left( q_x q_y + q_w q_z \\right) & 1 – 2 \\left( {q_x}^2 + {q_z}^2 \\right) & 2 \\left( q_y q_z – q_w q_x \\right) & 0 \\\\
2 \\left( q_x q_z – q_w q_y \\right) & 2 \\left( q_w q_x + q_y q_z \\right) & 1 – 2 \\left( {q_x}^2 + {q_y}^2 \\right) & 0 \\\\
0 & 0 & 0 & 1 \\\\
\\end{array}
\\right)
$$<\/p>\n\n\n\n

Homogene Form (Vermessungswesen):
$$
M_R =
\\left(
\\begin{array}{cccc}
{q_w}^2 + {q_x}^2 – {q_y}^2 – {q_z}^2 & 2 \\left( q_x q_y – q_w q_z \\right) & 2 \\left( q_w q_y + q_x q_z \\right) & 0 \\\\
2 \\left( q_x q_y + q_w q_z \\right) & {q_w}^2 – {q_x}^2 + {q_y}^2 – {q_z}^2 & 2 \\left( q_y q_z – q_w q_x \\right) & 0 \\\\
2 \\left( q_x q_z – q_w q_y \\right) & 2 \\left( q_w q_x + q_y q_z \\right) & {q_w}^2 – {q_x}^2 – {q_y}^2 + {q_z}^2 & 0 \\\\
0 & 0 & 0 & 1 \\\\
\\end{array}
\\right)
$$<\/p>\n\n\n\n

Zu sehen ist der minimal h\u00f6here Rechenaufwand, welcher die Rotationsmatrix bei \\( |q| \\neq 1 \\) stabil h\u00e4lt.<\/p>\n\n\n\n

Nat\u00fcrlich sollte der Betrag des Quaterions bei 1 liegen. Aber im numerischen Sinne absolut 1 ist in der Regel nicht m\u00f6glich. Die Gr\u00fcnde daf\u00fcr sind ein Thema des n\u00e4chsten Teils dieser Reihe, der sich mit den Unterschieden in den Modellierungen der funktionalen Modelle besch\u00e4ftigt.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

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