{"id":896,"date":"2026-05-03T15:15:47","date_gmt":"2026-05-03T13:15:47","guid":{"rendered":"https:\/\/thurow.de\/?p=896"},"modified":"2026-05-03T16:05:34","modified_gmt":"2026-05-03T14:05:34","slug":"numerik-schlaegt-manchmal-analytik-teil-3-funktionales-modell","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/thurow.de\/?p=896","title":{"rendered":"Numerik schl\u00e4gt manchmal Analytik Teil 3 &#8211; Funktionales Modell"},"content":{"rendered":"\n<p><a href=\"https:\/\/thurow.de\/?p=857\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener\">Teil 1<\/a> dieser Reihe f\u00fchrte in die Problematiken Linearisierung und Singularit\u00e4ten bei Verwendung der Ausgleichungsrechnung ein.<\/p>\n\n\n\n<p><a href=\"https:\/\/thurow.de\/?p=864\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener\">Teil 2<\/a> zeigte L\u00f6sungsans\u00e4tze bei der Modellierung von Beobachtungs- und Bedingungsgleichungen.<\/p>\n\n\n\n<p>Dieser Teil widmet sich nun der funktionalen Modellierung von Beobachtungs- und Bedingungsgleichungen in der Ausgleichungsrechnung. Hier sind im Wesentlichen drei Modelle zu unterscheiden:<\/p>\n\n\n\n<ul class=\"wp-block-list\">\n<li><strong>Parametrisches Modell<\/strong><br>Historische Bezeichnung: Ausgleichung nach vermittelnden Beobachtungen\n<ul class=\"wp-block-list\">\n<li><strong>Kernidee:<\/strong><br>Beobachtungen <math xmlns=\"http:\/\/www.w3.org\/1998\/Math\/MathML\"><semantics><mrow><mi>l<\/mi><\/mrow><annotation encoding=\"application\/x-tex\">l<\/annotation><\/semantics><\/math> h\u00e4ngen von <strong>unbekannten Parametern<\/strong> <math xmlns=\"http:\/\/www.w3.org\/1998\/Math\/MathML\"><semantics><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><annotation encoding=\"application\/x-tex\">x<\/annotation><\/semantics><\/math> ab: <math data-latex=\"l + v = f(x)\"><semantics><mrow><mi>l<\/mi><mo>+<\/mo><mi>v<\/mi><mo>=<\/mo><mi>f<\/mi><mo form=\"prefix\" stretchy=\"false\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo form=\"postfix\" stretchy=\"false\">)<\/mo><\/mrow><annotation encoding=\"application\/x-tex\">l + v = f(x)<\/annotation><\/semantics><\/math><br>Korrekturen <math xmlns=\"http:\/\/www.w3.org\/1998\/Math\/MathML\"><semantics><mrow><mi>v<\/mi><\/mrow><annotation encoding=\"application\/x-tex\">v<\/annotation><\/semantics><\/math> werden so bestimmt, dass das Modell optimal erf\u00fcllt ist.<\/li>\n\n\n\n<li><strong>\u00dcbersetzt:<\/strong><br>\u201eIch suche die <em>Parameter<\/em>, die meine Messungen erkl\u00e4ren.\u201c<\/li>\n<\/ul>\n<\/li>\n\n\n\n<li><strong>Bedingungsmodell<\/strong><br>Historische Bezeichnung: Bedingte Ausgleichung\n<ul class=\"wp-block-list\">\n<li><strong>Kernidee:<\/strong><br>Es gibt <strong>Zwangsbedingungen zwischen den Beobachtungen selbst<\/strong>: <math data-latex=\"g(l + v) = 0\"><semantics><mrow><mi>g<\/mi><mo form=\"prefix\" stretchy=\"false\">(<\/mo><mi>l<\/mi><mo>+<\/mo><mi>v<\/mi><mo form=\"postfix\" stretchy=\"false\">)<\/mo><mo>=<\/mo><mn>0<\/mn><\/mrow><annotation encoding=\"application\/x-tex\">g(l + v) = 0<\/annotation><\/semantics><\/math><br>Keine expliziten unbekannten Parameter notwendig.<\/li>\n\n\n\n<li><strong><strong>\u00dcbersetzt<\/strong>:<\/strong><br>\u201eMeine Messungen m\u00fcssen bestimmte Bedingungen erf\u00fcllen.\u201c<\/li>\n<\/ul>\n<\/li>\n\n\n\n<li><strong>Kombiniertes Modell<\/strong><br>Historische Bezeichnung: Vermittelnde Ausgleichung mit Bedingungen\n<ul class=\"wp-block-list\">\n<li><strong>Kernidee:<\/strong><br>Kombination aus Parametern <math xmlns=\"http:\/\/www.w3.org\/1998\/Math\/MathML\"><semantics><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><annotation encoding=\"application\/x-tex\">x<\/annotation><\/semantics><\/math> und Bedingungen <math xmlns=\"http:\/\/www.w3.org\/1998\/Math\/MathML\"><semantics><mrow><mi>g<\/mi><mo stretchy=\"false\">(<\/mo><mo>\u22c5<\/mo><mo stretchy=\"false\">)<\/mo><\/mrow><annotation encoding=\"application\/x-tex\">g(\\cdot)<\/annotation><\/semantics><\/math><\/li>\n\n\n\n<li><strong><strong>\u00dcbersetzt<\/strong>:<\/strong><br>\u201eIch habe sowohl ein Modell als auch zus\u00e4tzliche Zwangsbedingungen.\u201c<\/li>\n<\/ul>\n<\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n<p>F\u00fcr jedes der Modelle gibt es klassische Anwendungsf\u00e4lle, etwa beim parametrischen Modell f\u00fcr Netzausgleichung oder dem Bedingungsmodell f\u00fcr Schleifenbedingungen in Nivellements. Das ist allerdings nur ein Aspekt.<\/p>\n\n\n\n<p>So k\u00f6nnen z.B. Bedingungsgleichungen im parametrischen Modell auch als Pseudobeobachtungen mit hohen Gewichtungen modelliert werden. Und wie manche Entwickler eher Java oder C# sch\u00e4tzen, so gibt es auch hier gewisse Lager. Denn die Modellierung von Bedingungsgleichungen direkt oder als Pseudobeobachtungen hat jeweils Vor- und Nachteile. Im Wesentlichen erkauft man sich Exaktheit oder numerische Stabilit\u00e4t.<\/p>\n\n\n\n<p>Bildhaft ausgedr\u00fcckt: bei Pseudobeobachtungen arbeiten meine stark gewichteten Residuen wie &#8222;Sto\u00dfd\u00e4mpfer&#8220;, bei einem &#8222;Erdbeben&#8220; nehmen sie Energie auf, das Geb\u00e4ude bricht nicht.<\/p>\n\n\n\n<p>Weiter kommt der Satteleffekt hinzu. Dazu m\u00fcssen wir die Modellierung der funktionalen Modelle ansehen:<\/p>\n\n\n\n<p><strong>Parametrisches Modell<\/strong>:<\/p>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-math\"><math display=\"block\"><semantics><mrow><mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\">(<\/mo><mtable columnalign=\"center center\"><mtr><mtd style=\"padding-left:0em;\"><msup><mi>P<\/mi><mrow><mo lspace=\"0em\" rspace=\"0em\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msup><\/mtd><mtd style=\"padding-right:0em;\"><mi>A<\/mi><\/mtd><\/mtr><mtr><mtd style=\"padding-left:0em;\"><msup><mi>A<\/mi><mi>T<\/mi><\/msup><\/mtd><mtd style=\"padding-right:0em;\"><mn>0<\/mn><\/mtd><\/mtr><\/mtable><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\">(<\/mo><mtable columnalign=\"center\"><mtr><mtd style=\"padding-left:0em;padding-right:0em;\"><mi>v<\/mi><\/mtd><\/mtr><mtr><mtd style=\"padding-left:0em;padding-right:0em;\"><mrow><mrow><mi mathvariant=\"normal\">\u0394<\/mi><\/mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><\/mtd><\/mtr><\/mtable><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">)<\/mo><\/mrow><mo>=<\/mo><mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\">(<\/mo><mtable columnalign=\"center\"><mtr><mtd style=\"padding-left:0em;padding-right:0em;\"><mi>w<\/mi><\/mtd><\/mtr><mtr><mtd style=\"padding-left:0em;padding-right:0em;\"><mn>0<\/mn><\/mtd><\/mtr><\/mtable><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">)<\/mo><\/mrow><\/mrow><annotation encoding=\"application\/x-tex\">\\begin{pmatrix}\nP^{-1} &amp; A \\\\\nA^T    &amp; 0\n\\end{pmatrix}\n\\begin{pmatrix}\nv \\\\\n\\Delta x\n\\end{pmatrix}\n=\n\\begin{pmatrix}\nw \\\\\n0\n\\end{pmatrix}<\/annotation><\/semantics><\/math><\/div>\n\n\n\n<p><strong>Bedingungsmodell<\/strong>:<\/p>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-math\"><math display=\"block\"><semantics><mrow><mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\">(<\/mo><mtable columnalign=\"center center\"><mtr><mtd style=\"padding-left:0em;\"><msup><mi>P<\/mi><mrow><mo lspace=\"0em\" rspace=\"0em\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msup><\/mtd><mtd style=\"padding-right:0em;\"><msup><mi>B<\/mi><mi>T<\/mi><\/msup><\/mtd><\/mtr><mtr><mtd style=\"padding-left:0em;\"><mi>B<\/mi><\/mtd><mtd style=\"padding-right:0em;\"><mn>0<\/mn><\/mtd><\/mtr><\/mtable><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\">(<\/mo><mtable columnalign=\"center\"><mtr><mtd style=\"padding-left:0em;padding-right:0em;\"><mi>v<\/mi><\/mtd><\/mtr><mtr><mtd style=\"padding-left:0em;padding-right:0em;\"><mi>\u03bb<\/mi><\/mtd><\/mtr><\/mtable><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">)<\/mo><\/mrow><mo>=<\/mo><mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\">(<\/mo><mtable columnalign=\"center\"><mtr><mtd style=\"padding-left:0em;padding-right:0em;\"><mn>0<\/mn><\/mtd><\/mtr><mtr><mtd style=\"padding-left:0em;padding-right:0em;\"><mrow><mo>\u2212<\/mo><mi>w<\/mi><\/mrow><\/mtd><\/mtr><\/mtable><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">)<\/mo><\/mrow><\/mrow><annotation encoding=\"application\/x-tex\">\\begin{pmatrix}\nP^{-1} &amp; B^T \\\\\nB      &amp; 0\n\\end{pmatrix}\n\\begin{pmatrix}\nv \\\\\n\\lambda\n\\end{pmatrix}\n=\n\\begin{pmatrix}\n0 \\\\\n&#8211; w\n\\end{pmatrix}<\/annotation><\/semantics><\/math><\/div>\n\n\n\n<p> <strong>Kombiniertes Modell<\/strong>:<\/p>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-math\"><math display=\"block\"><semantics><mrow><mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\">(<\/mo><mtable columnalign=\"center center\"><mtr><mtd style=\"padding-left:0em;\"><mrow><msup><mi>A<\/mi><mi>T<\/mi><\/msup><mi>P<\/mi><mi>A<\/mi><\/mrow><\/mtd><mtd style=\"padding-right:0em;\"><msup><mi>C<\/mi><mi>T<\/mi><\/msup><\/mtd><\/mtr><mtr><mtd style=\"padding-left:0em;\"><mi>C<\/mi><\/mtd><mtd style=\"padding-right:0em;\"><mn>0<\/mn><\/mtd><\/mtr><\/mtable><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\">(<\/mo><mtable columnalign=\"center\"><mtr><mtd style=\"padding-left:0em;padding-right:0em;\"><mrow><mrow><mi mathvariant=\"normal\">\u0394<\/mi><\/mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><\/mtd><\/mtr><mtr><mtd style=\"padding-left:0em;padding-right:0em;\"><mi>\u03bb<\/mi><\/mtd><\/mtr><\/mtable><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">)<\/mo><\/mrow><mo>=<\/mo><mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\">(<\/mo><mtable columnalign=\"center\"><mtr><mtd style=\"padding-left:0em;padding-right:0em;\"><mrow><msup><mi>A<\/mi><mi>T<\/mi><\/msup><mi>P<\/mi><mi>w<\/mi><\/mrow><\/mtd><\/mtr><mtr><mtd style=\"padding-left:0em;padding-right:0em;\"><mrow><mo>\u2212<\/mo><msub><mi>w<\/mi><mi>b<\/mi><\/msub><\/mrow><\/mtd><\/mtr><\/mtable><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">)<\/mo><\/mrow><\/mrow><annotation encoding=\"application\/x-tex\">\\begin{pmatrix}\nA^T P A &amp; C^T \\\\\nC       &amp; 0\n\\end{pmatrix}\n\\begin{pmatrix}\n\\Delta x \\\\\n\\lambda\n\\end{pmatrix}\n=\n\\begin{pmatrix}\nA^T P w \\\\\n&#8211; w_b\n\\end{pmatrix}<\/annotation><\/semantics><\/math><\/div>\n\n\n\n<p>Bei jedem der Modelle f\u00e4llt die Submatrix <math data-latex=\"\\begin{pmatrix} ... &amp; ... \\\\ ...      &amp; 0 \\end{pmatrix}\"><semantics><mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\">(<\/mo><mtable columnalign=\"center center\"><mtr><mtd style=\"padding-left:0em;\"><mrow><mi>.<\/mi><mi>.<\/mi><mi>.<\/mi><\/mrow><\/mtd><mtd style=\"padding-right:0em;\"><mrow><mi>.<\/mi><mi>.<\/mi><mi>.<\/mi><\/mrow><\/mtd><\/mtr><mtr><mtd style=\"padding-left:0em;\"><mrow><mi>.<\/mi><mi>.<\/mi><mi>.<\/mi><\/mrow><\/mtd><mtd style=\"padding-right:0em;\"><mn>0<\/mn><\/mtd><\/mtr><\/mtable><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">)<\/mo><\/mrow><annotation encoding=\"application\/x-tex\">\\begin{pmatrix} &#8230; &amp; &#8230; \\\\ &#8230; &amp; 0 \\end{pmatrix}<\/annotation><\/semantics><\/math> ins Auge. Wir haben hier einen Satteleffekt, welcher bestimmten Solverklassen entgegensteht, vor allem solchen, die positive Definitheit voraussetzen. Im parametrischen Modell k\u00f6nnen wir uns dieser Nullmatrix aber in der Regel entledigen. Aus:<\/p>\n\n\n\n<p><math xmlns=\"http:\/\/www.w3.org\/1998\/Math\/MathML\" display=\"block\"><semantics><mrow><mi>v<\/mi><mo>=<\/mo><mi>A<\/mi><mtext>\u2009<\/mtext><mi mathvariant=\"normal\">\u0394<\/mi><mi>x<\/mi><mo>\u2212<\/mo><mi>w<\/mi><\/mrow><annotation encoding=\"application\/x-tex\">v = A \\, \\Delta x &#8211; w<\/annotation><\/semantics><\/math>eingesetzt in:<math xmlns=\"http:\/\/www.w3.org\/1998\/Math\/MathML\" display=\"block\"><semantics><mrow><msup><mi>A<\/mi><mi>T<\/mi><\/msup><mi>P<\/mi><mi>v<\/mi><mo>=<\/mo><mn>0<\/mn><\/mrow><annotation encoding=\"application\/x-tex\">A^T P v = 0<\/annotation><\/semantics><\/math>ergibt sich:<math xmlns=\"http:\/\/www.w3.org\/1998\/Math\/MathML\" display=\"block\"><semantics><mrow><msup><mi>A<\/mi><mi>T<\/mi><\/msup><mi>P<\/mi><mi>A<\/mi><mtext>\u2009<\/mtext><mi mathvariant=\"normal\">\u0394<\/mi><mi>x<\/mi><mo>=<\/mo><msup><mi>A<\/mi><mi>T<\/mi><\/msup><mi>P<\/mi><mi>w<\/mi><\/mrow><annotation encoding=\"application\/x-tex\">A^T P A \\, \\Delta x = A^T P w<\/annotation><\/semantics><\/math>Und damit haben wir den l\u00e4stigen Satteleffekt eliminiert (daf\u00fcr kann sich die Kondition verschlechtern, besonders bei Normalgleichungen).<\/p>\n\n\n\n<p>Aber bereits in den Bedingungsgleichungen haben wir z.T. harte Bedingungen zwischen Parametern. Als Beispiel sei die hessische Normalform einer Ebene genannt:  <\/p>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-math\"><math display=\"block\"><semantics><mrow><mover><mi>n<\/mi><mo stretchy=\"false\" class=\"tml-xshift\" style=\"math-style:normal;math-depth:0;\">^<\/mo><\/mover><mo>\u22c5<\/mo><mo form=\"prefix\" stretchy=\"false\">(<\/mo><mover><mi>x<\/mi><mo stretchy=\"false\" style=\"transform:scale(0.75) translate(10%, 30%);\">\u2192<\/mo><\/mover><mo>\u2212<\/mo><msub><mover><mi>x<\/mi><mo stretchy=\"false\" style=\"transform:scale(0.75) translate(10%, 30%);\">\u2192<\/mo><\/mover><mn>0<\/mn><\/msub><mo form=\"postfix\" stretchy=\"false\">)<\/mo><mo>=<\/mo><mn>0<\/mn><\/mrow><annotation encoding=\"application\/x-tex\">\\hat{n} \\cdot (\\vec{x} &#8211; \\vec{x}_0) = 0<\/annotation><\/semantics><\/math><\/div>\n\n\n\n<p>Sie bringt verschiedenste numerische Vorteile f\u00fcr eine Ebenenbeschreibung bei der Ausgleichungsrechnung, bedingt aber <math data-latex=\"\\lVert \\vec{n} \\rVert = 1\"><semantics><mrow><mo form=\"prefix\" stretchy=\"false\">\u2016<\/mo><mover><mi>n<\/mi><mo stretchy=\"false\" style=\"transform:scale(0.75) translate(10%, 30%);\">\u2192<\/mo><\/mover><mo form=\"postfix\" stretchy=\"false\">\u2016<\/mo><mo>=<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><annotation encoding=\"application\/x-tex\">\\lVert \\vec{n} \\rVert = 1<\/annotation><\/semantics><\/math>. Und solche Arten von harten Bedingungen lassen sich auch ohne kombiniertes Modell realisieren. Darauf geht der n\u00e4chste Teil der Serie ein, der sich mit der Linearisierung der Beobachtungsgleichungen besch\u00e4ftigt. <\/p>\n\n\n\n<p>Die Wahl des funktionalen Modells hat unmittelbaren Einfluss auf die Struktur des entstehenden Gleichungssystems. Insbesondere gekoppelte Modelle f\u00fchren h\u00e4ufig auf Systeme mit Sattelpunktscharakter, die numerisch anspruchsvoll zu l\u00f6sen sind.<\/p>\n\n\n\n<p>Durch geeignete Umformungen, wie die Eliminierung von Variablen im parametrischen Modell, kann diese Struktur gezielt beeinflusst werden. Damit wird aus einem strukturell schwierigen Problem ein System, das mit klassischen Verfahren stabil l\u00f6sbar ist.<\/p>\n\n\n\n<p>F\u00fcr die praktische Anwendung bedeutet das: Die Entscheidung f\u00fcr ein funktionales Modell ist nicht nur eine Frage der Beschreibung, sondern bestimmt wesentlich die numerischen Eigenschaften des gesamten L\u00f6sungsprozesses.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Teil 1 dieser Reihe f\u00fchrte in die Problematiken Linearisierung und Singularit\u00e4ten bei Verwendung der Ausgleichungsrechnung ein. 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