{"id":954,"date":"2026-04-23T07:04:56","date_gmt":"2026-04-23T05:04:56","guid":{"rendered":"https:\/\/thurow.de\/?p=954"},"modified":"2026-04-23T08:28:11","modified_gmt":"2026-04-23T06:28:11","slug":"kalibrierungsbeispiel-teil-2-kalibrierungstool","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/thurow.de\/?p=954","title":{"rendered":"Kalibrierungsbeispiel Teil 2 \u2013 Kalibrierungstool"},"content":{"rendered":"\n

Teil 1<\/a> dieser Serie widmete sich einer robusten Bildauswertung mit wenig Rechenkraft auf Basis vorher bestimmter Kalibrierungswerte. Dieser Teil widmet sich deren Bestimmung. Wie bereits angef\u00fchrt, ist die Kalibrierung wesentlich aufwendiger und rechenintensiver. Daher wurde sie in diesem Projekt ausgelagert auf einen Desktop-Rechner. Der Komplexit\u00e4t geschuldet widmen sich diesem Part mehrere Teile. <\/p>\n\n\n\n

\"\"
Abbildung 1: Ausschnitt UI Kalibrierungstool<\/figcaption><\/figure>\n\n\n\n

Im ersten Teil wurde die Umsetzung der Lock-in-Phasendetektion mit positionsabh\u00e4ngiger Referenzfrequenz gezeigt. Die lokale Periode P<\/mi>(<\/mo>x<\/mi>)<\/mo><\/mrow>P(x)<\/annotation><\/semantics><\/math> (Pixel pro mm) ist dabei ortsabh\u00e4ngig und wird berechnet als:<\/p>\n\n\n\n
P<\/mi>(<\/mo>x<\/mi>)<\/mo>=<\/mo>P<\/mi>0<\/mn><\/msub>+<\/mo>d<\/mi>P<\/mi><\/mrow>d<\/mi>x<\/mi><\/mrow><\/mfrac><\/mspace>(<\/mo>x<\/mi>\u2212<\/mo>x<\/mi>0<\/mn><\/msub>)<\/mo>+<\/mo>d<\/mi>2<\/mn><\/msup>P<\/mi><\/mrow>d<\/mi>x<\/mi>2<\/mn><\/msup><\/mrow><\/mfrac><\/mspace>(<\/mo>x<\/mi>\u2212<\/mo>x<\/mi>0<\/mn><\/msub>)<\/mo>2<\/mn><\/msup><\/mspace>[<\/mo>px<\/mtext>mm<\/mtext><\/mfrac>]<\/mo><\/mrow><\/mrow>P(x) = P_0 + \\frac{dP}{dx}\\,(x – x_0)\n + \\frac{d^2P}{dx^2}\\,(x – x_0)^2\n \\qquad \\left[\\frac{\\text{px}}{\\text{mm}}\\right]<\/annotation><\/semantics><\/math><\/div>\n\n\n\n

Daraus ergeben sich die Kalibrierungs-Parameter<\/p>\n\n\n\n

    \n
  • x<\/mi>0<\/mn><\/msub>x_0<\/annotation><\/semantics><\/math> als Referenzposition<\/li>\n\n\n\n
  • P<\/mi>0<\/mn><\/msub>P_0<\/annotation><\/semantics><\/math> als Basisperiode bei x<\/mi>0<\/mn><\/msub>x_0<\/annotation><\/semantics><\/math><\/li>\n\n\n\n
  • d<\/mi>P<\/mi>\/<\/mi>d<\/mi>x<\/mi><\/mrow>dP\/dx<\/annotation><\/semantics><\/math> als linearer Koeffizient<\/li>\n\n\n\n
  • d<\/mi>2<\/mn><\/msup>P<\/mi>\/<\/mi>d<\/mi>x<\/mi>2<\/mn><\/msup><\/mrow>d^2P\/dx^2<\/annotation><\/semantics><\/math> als quadratischer Koeffizient<\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n

    Triviale Schritte wie die Festlegung des ROIs werden bewusst ausgelassen.<\/p>\n\n\n\n

    Ist der ROI festgelegt, ergibt sich das bekannte Messbild:<\/p>\n\n\n\n

    \"\"<\/figure>\n\n\n\n

    Analog der Auswertung im Vermessungsger\u00e4t wird zun\u00e4chst ein 1D-Helligkeitsprofil generiert. Warum dieser Weg, der bereits Bildinformation verliert? Die Antwort ist: da praktische Tests gezeigt haben, auf diesem Weg wird die angestrebte Zielgenauigkeit bereits deutlich \u00fcbertroffen. Die Striche sind hinreichend senkrecht, so dass hier der Informationsverlust durch Mittelung unbedeutend gegen\u00fcber der Relevanz der folgenden Verfahren ausf\u00e4llt.

    Das Bild wird in einem horizontalen ROI-Streifen der H\u00f6he h<\/mi>h<\/annotation><\/semantics><\/math> ab Zeile y<\/mi>0<\/mn><\/msub>y_0<\/annotation><\/semantics><\/math> vertikal gemittelt. F\u00fcr jede Spalte x<\/mi>x<\/annotation><\/semantics><\/math> ergibt sich:<\/p>\n\n\n\n
    I<\/mi>(<\/mo>x<\/mi>)<\/mo>=<\/mo>1<\/mn>h<\/mi><\/mfrac>\u2211<\/mo>y<\/mi>=<\/mo>y<\/mi>0<\/mn><\/msub><\/mrow>y<\/mi>0<\/mn><\/msub>+<\/mo>h<\/mi>\u2212<\/mo>1<\/mn><\/mrow><\/munderover><\/mrow>image<\/mtext>(<\/mo>x<\/mi>,<\/mo>y<\/mi>)<\/mo><\/mrow>I(x) = \\frac{1}{h} \\sum_{y=y_0}^{y_0+h-1} \\text{image}(x, y)<\/annotation><\/semantics><\/math><\/div>\n\n\n\n

    Das Helligkeitsprofil wird nun mit einem symmetrischen Box-Filter leicht gegl\u00e4ttet:<\/p>\n\n\n\n

    I<\/mi>~<\/mo><\/mover>(<\/mo>x<\/mi>)<\/mo>=<\/mo>1<\/mn>|<\/mi>N<\/mi>(<\/mo>x<\/mi>)<\/mo>|<\/mi><\/mrow><\/mfrac>\u2211<\/mo>k<\/mi>\u2208<\/mo>N<\/mi>(<\/mo>x<\/mi>)<\/mo><\/mrow><\/munder><\/mrow>I<\/mi>(<\/mo>k<\/mi>)<\/mo><\/mrow>\\tilde{I}(x) = \\frac{1}{|N(x)|} \\sum_{k \\in N(x)} I(k)<\/annotation><\/semantics><\/math><\/div>\n\n\n\n

    mit N<\/mi>(<\/mo>x<\/mi>)<\/mo>=<\/mo>[<\/mo>max<\/mi>\u2061<\/mo><\/mrow>(<\/mo>0<\/mn>,<\/mo>x<\/mi>\u2212<\/mo>r<\/mi>)<\/mo>,<\/mo><\/mspace><\/mspace>min<\/mi>\u2061<\/mo><\/mrow>(<\/mo>W<\/mi>\u2212<\/mo>1<\/mn>,<\/mo>x<\/mi>+<\/mo>r<\/mi>)<\/mo>]<\/mo><\/mrow>N(x) = [\\max(0, x-r),\\; \\min(W-1, x+r)]<\/annotation><\/semantics><\/math> und |<\/mi>N<\/mi>(<\/mo>x<\/mi>)<\/mo>|<\/mi><\/mrow>|N(x)|<\/annotation><\/semantics><\/math> als Anzahl der Summanden (Randbehandlung durch Clamping).<\/p>\n\n\n\n

    Auf dieser Signalbasis erfolgt die Detektion der Linien. Und hier f\u00e4llt die Entscheidung klar auf den Ansatz, die Kanten der Linien zu detektieren und nicht die Linie direkt z.B. als Helligkeitsminimum. Das hat mehrere Gr\u00fcnde:<\/p>\n\n\n\n

      \n
    • Information steckt in der Flanke, nicht im Plateau<\/strong>
      Ein Strich erscheint im gemittelten 1D-Helligkeitsprofil als Mulde mit einem flachen, rauschdominierten Boden, der tiefste Punkt ist statistisch schlecht lokalisiert.
      Die \u00dcberg\u00e4nge hell \u2192 dunkel und dunkel \u2192 hell hingegen sind die Stellen mit dem gr\u00f6\u00dften Gradienten |<\/mi>d<\/mi>I<\/mi>\/<\/mi>d<\/mi>x<\/mi>|<\/mi><\/mrow>|dI\/dx|<\/annotation><\/semantics><\/math> und damit dem h\u00f6chsten Signal-zu-Rausch-Verh\u00e4ltnis f\u00fcr eine Ortsbestimmung.
      Die Flanke gibt die Position auf Bruchteile eines Pixels preis, das Plateau nicht.<\/li>\n\n\n\n
    • Unempfindlich gegen Helligkeits- und Kontrastverl\u00e4ufe<\/strong>
      Die Beleuchtung \u00fcber die Bildbreite ist nicht homogen, die Abbildung f\u00e4llt zu den R\u00e4ndern hin ab, und die Striche selbst haben nicht \u00fcberall denselben Schwarzwert.
      Ein Verfahren, das auf absoluten Helligkeitswerten operiert (Schwelle, Minimum), reagiert auf jede dieser St\u00f6rungen.
      Der Gradient ist dagegen invariant gegen additive Offsets und nahezu invariant gegen langsame multiplikative Verl\u00e4ufe, genau die Fehlerklassen, die in der Praxis auftreten.<\/li>\n\n\n\n
    • Trennung von linker und rechter Kante als Plausibilit\u00e4tsanker<\/strong>
      Da der vorzeichenbehaftete Gradient links und rechts eines Strichs entgegengesetzte Extrema hat, lassen sich die beiden Kanten getrennt detektieren und anschlie\u00dfend zu Paaren zusammenf\u00fchren.
      Das liefert als Nebenprodukt die Strichbreite, und damit ein hartes Plausibilit\u00e4tskriterium:
      Paare au\u00dferhalb des erwarteten Breitenfensters werden verworfen, bevor sie das Periodenmodell verf\u00e4lschen.
      Ein Minimum-basiertes Verfahren kann diesen Selbsttest nicht leisten, da es nur einen Punkt pro Strich sieht.<\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n

      F\u00fcr die Detektion der Kanten wird aus dem gegl\u00e4tteten Helligkeitsprofil ein 1D Profil g<\/mi>g<\/annotation><\/semantics><\/math> der signierten Gradienten \u00fcber diesem mittels zentraler Differenzen gebildet:<\/p>\n\n\n\n
      g<\/mi>(<\/mo>x<\/mi>)<\/mo><\/mrow><\/mtd>=<\/mo>1<\/mn>2<\/mn><\/mfrac>(<\/mo>I<\/mi>~<\/mo><\/mover>(<\/mo>x<\/mi>+<\/mo>1<\/mn>)<\/mo>\u2212<\/mo>I<\/mi>~<\/mo><\/mover>(<\/mo>x<\/mi>\u2212<\/mo>1<\/mn>)<\/mo>)<\/mo><\/mspace>f\u00fcr <\/mtext>x<\/mi>\u2208<\/mo>[<\/mo>1<\/mn>,<\/mo>W<\/mi>\u2212<\/mo>2<\/mn>]<\/mo><\/mrow><\/mtd><\/mtr>g<\/mi>(<\/mo>0<\/mn>)<\/mo><\/mrow><\/mtd>=<\/mo>0<\/mn><\/mrow><\/mtd><\/mtr>g<\/mi>(<\/mo>W<\/mi>\u2212<\/mo>1<\/mn>)<\/mo><\/mrow><\/mtd>=<\/mo>0<\/mn><\/mrow><\/mtd><\/mtr><\/mtable>\\begin{aligned}\ng(x) &= \\frac{1}{2} \\bigl(\\tilde{I}(x+1) – \\tilde{I}(x-1)\\bigr) \\qquad \\text{f\u00fcr } x \\in [1, W-2] \\\\\ng(0) &= 0\\\\\ng(W-1) &= 0\n\\end{aligned}<\/annotation><\/semantics><\/math><\/div>\n\n\n\n

      Bei einer linken Strichkante f\u00e4llt die Intensit\u00e4t (hell \u2192 dunkel), daher ist g<\/mi>(<\/mo>x<\/mi>)<\/mo><<\/mo>0<\/mn><\/mrow>g(x) < 0<\/annotation><\/semantics><\/math>, an einer rechten Strichkante steigt die Intensit\u00e4t wieder (dunkel \u2192 hell), hier ist g<\/mi>(<\/mo>x<\/mi>)<\/mo>><\/mo>0<\/mn><\/mrow>g(x) > 0<\/annotation><\/semantics><\/math>.<\/p>\n\n\n\n

      Das Gradientenprofil ist jedoch rauschbehaftet. F\u00fcr die Detektierung der Kanten werden in dem Profil Segmente [<\/mo>a<\/mi>,<\/mo>b<\/mi>]<\/mo><\/mrow>[a, b]<\/annotation><\/semantics><\/math> gesucht, in denen zusammenh\u00e4ngend der Gradient g<\/mi>(<\/mo>x<\/mi>)<\/mo>\u2265<\/mo>\u03b8<\/mi><\/mrow>g(x) \\geq \\theta<\/annotation><\/semantics><\/math> (Kandidat f\u00fcr eine rechte Kante, positives Segment) oder g<\/mi>(<\/mo>x<\/mi>)<\/mo>\u2264<\/mo>\u2212<\/mo>\u03b8<\/mi><\/mrow>g(x) \\leq -\\theta<\/annotation><\/semantics><\/math> (Kandidat f\u00fcr eine linke Kanten, negatives Segment) ausf\u00e4llt. \u03b8<\/mi>\\theta<\/annotation><\/semantics><\/math> dient also als Schwellwert. Die Kandidaten der linken und rechten Seite werden nach weiteren Kriterien gefiltert, wie minimaler und maximaler L\u00e4nge, maximalen Peak etc.<\/p>\n\n\n\n
      w<\/mi>i<\/mi><\/msub><\/mtd>=<\/mo>g<\/mi>(<\/mo>i<\/mi>)<\/mo>\u2212<\/mo>\u03b8<\/mi><\/mspace><\/mrow><\/mtd>(<\/mo>rechte Seite<\/mtext>)<\/mo><\/mrow><\/mtd><\/mtr>w<\/mi>i<\/mi><\/msub><\/mtd>=<\/mo>\u2212<\/mo>g<\/mi>(<\/mo>i<\/mi>)<\/mo>\u2212<\/mo>\u03b8<\/mi><\/mspace><\/mrow><\/mtd>(<\/mo>linke Seite<\/mtext>)<\/mo><\/mrow><\/mtd><\/mtr>x<\/mi><\/mtd>=<\/mo>\u2211<\/mo>i<\/mi>=<\/mo>a<\/mi><\/mrow>b<\/mi><\/msubsup>w<\/mi>i<\/mi><\/msub>\u22c5<\/mo>i<\/mi><\/mrow>\u2211<\/mo>i<\/mi>=<\/mo>a<\/mi><\/mrow>b<\/mi><\/msubsup>w<\/mi>i<\/mi><\/msub><\/mrow><\/mfrac><\/mrow><\/mtd>(Subpixel-Position)<\/mtext><\/mtd><\/mtr>s<\/mi><\/mtd>=<\/mo>\u2211<\/mo>i<\/mi>=<\/mo>a<\/mi><\/mrow>b<\/mi><\/munderover><\/mrow>w<\/mi>i<\/mi><\/msub><\/mspace><\/mrow><\/mtd>(Peakst\u00e4rke)<\/mtext><\/mtd><\/mtr><\/mtable>\\begin{aligned}\nw_i &= g(i) – \\theta \\qquad & (\\text{rechte Seite}) \\\\\nw_i &= -g(i) – \\theta \\qquad & (\\text{linke Seite}) \\\\\nx &= \\frac{\\sum_{i=a}^{b} w_i \\cdot i} {\\sum_{i=a}^{b} w_i} &\\text{(Subpixel-Position)}\\\\\ns &= \\sum_{i=a}^{b} w_i \\qquad &\\text{(Peakst\u00e4rke)}\n\\end{aligned}<\/annotation><\/semantics><\/math><\/div>\n\n\n\n

      Der n\u00e4chste Teil beleuchtet die Filterung der Kandidaten.<\/p>\n\n\n\n

      <\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

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