Numerik schlägt manchmal Analytik Teil 3 – Funktionales Modell

Teil 1 dieser Reihe führte in die Problematiken Linearisierung und Singularitäten bei Verwendung der Ausgleichungsrechnung ein.

Teil 2 zeigte Lösungsansätze bei der Modellierung von Beobachtungs- und Bedingungsgleichungen.

Dieser Teil widmet sich nun der funktionalen Modellierung von Beobachtungs- und Bedingungsgleichungen in der Ausgleichungsrechnung. Hier sind im Wesentlichen drei Modelle zu unterscheiden:

Parametrisches Modell
Historische Bezeichnung: Ausgleichung nach vermittelnden Beobachtungen
- Kernidee:
  Beobachtungen $l$ hängen von unbekannten Parametern $x$ ab: $l + v = f(x)$
  Korrekturen $v$ werden so bestimmt, dass das Modell optimal erfüllt ist.
- Übersetzt:
  „Ich suche die Parameter, die meine Messungen erklären.“
Bedingungsmodell
Historische Bezeichnung: Bedingte Ausgleichung
- Kernidee:
  Es gibt Zwangsbedingungen zwischen den Beobachtungen selbst: $g(l + v) = 0$
  Keine expliziten unbekannten Parameter notwendig.
- Übersetzt:
  „Meine Messungen müssen bestimmte Bedingungen erfüllen.“
Kombiniertes Modell
Historische Bezeichnung: Vermittelnde Ausgleichung mit Bedingungen
- Kernidee:
  Kombination aus Parametern $x$ und Bedingungen $g(\cdot)$
- Übersetzt:
  „Ich habe sowohl ein Modell als auch zusätzliche Zwangsbedingungen.“

Für jedes der Modelle gibt es klassische Anwendungsfälle, etwa beim parametrischen Modell für Netzausgleichung oder dem Bedingungsmodell für Schleifenbedingungen in Nivellements. Das ist allerdings nur ein Aspekt.

So können z.B. Bedingungsgleichungen im parametrischen Modell auch als Pseudobeobachtungen mit hohen Gewichtungen modelliert werden. Und wie manche Entwickler eher Java oder C# schätzen, so gibt es auch hier gewisse Lager. Denn die Modellierung von Bedingungsgleichungen direkt oder als Pseudobeobachtungen hat jeweils Vor- und Nachteile. Im Wesentlichen erkauft man sich Exaktheit oder numerische Stabilität.

Bildhaft ausgedrückt: bei Pseudobeobachtungen arbeiten meine stark gewichteten Residuen wie „Stoßdämpfer“, bei einem „Erdbeben“ nehmen sie Energie auf, das Gebäude bricht nicht.

Weiter kommt der Satteleffekt hinzu. Dazu müssen wir die Modellierung der funktionalen Modelle ansehen:

Parametrisches Modell:

\begin{pmatrix} P^{-1} & A \\ A^T & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v \\ \Delta x \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} w \\ 0 \end{pmatrix}

Bedingungsmodell:

\begin{pmatrix} P^{-1} & B^T \\ B & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v \\ \lambda \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ – w \end{pmatrix}

Kombiniertes Modell:

\begin{pmatrix} A^T P A & C^T \\ C & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \Delta x \\ \lambda \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} A^T P w \\ – w_b \end{pmatrix}

Bei jedem der Modelle fällt die Submatrix $\begin{pmatrix} … & … \\ … & 0 \end{pmatrix}$ ins Auge. Wir haben hier einen Satteleffekt, welcher bestimmten Solverklassen entgegensteht, vor allem solchen, die positive Definitheit voraussetzen. Im parametrischen Modell können wir uns dieser Nullmatrix aber in der Regel entledigen. Aus:

$v = A \, \Delta x – w$ eingesetzt in: $A^T P v = 0$ ergibt sich: $A^T P A \, \Delta x = A^T P w$ Und damit haben wir den lästigen Satteleffekt eliminiert (dafür kann sich die Kondition verschlechtern, besonders bei Normalgleichungen).

Aber bereits in den Bedingungsgleichungen haben wir z.T. harte Bedingungen zwischen Parametern. Als Beispiel sei die hessische Normalform einer Ebene genannt:

\hat{n} \cdot (\vec{x} – \vec{x}_0) = 0

Sie bringt verschiedenste numerische Vorteile für eine Ebenenbeschreibung bei der Ausgleichungsrechnung, bedingt aber $\lVert \vec{n} \rVert = 1$ . Und solche Arten von harten Bedingungen lassen sich auch ohne kombiniertes Modell realisieren. Darauf geht der nächste Teil der Serie ein, der sich mit der Linearisierung der Beobachtungsgleichungen beschäftigt.

Die Wahl des funktionalen Modells hat unmittelbaren Einfluss auf die Struktur des entstehenden Gleichungssystems. Insbesondere gekoppelte Modelle führen häufig auf Systeme mit Sattelpunktscharakter, die numerisch anspruchsvoll zu lösen sind.

Durch geeignete Umformungen, wie die Eliminierung von Variablen im parametrischen Modell, kann diese Struktur gezielt beeinflusst werden. Damit wird aus einem strukturell schwierigen Problem ein System, das mit klassischen Verfahren stabil lösbar ist.

Für die praktische Anwendung bedeutet das: Die Entscheidung für ein funktionales Modell ist nicht nur eine Frage der Beschreibung, sondern bestimmt wesentlich die numerischen Eigenschaften des gesamten Lösungsprozesses.