Der erste Teil dieser Reihe führte in die Problematiken von Singularitäten und Linearisierung von Beobachtungs- und Bedingungsgleichungen ein. In diesem Beitrag steht ihre numerisch stabile Modellierung im Mittelpunkt.
Im ersten Teil wurde gezeigt, wie der Abstand zweier Punkte modelliert werden kann als:
\[
l_k + v_k = \sqrt{(x_i – x_j)^2 + (y_i – y_j)^2 + (z_i – z_j)^2}
\]
Diese Modellierung ist offensichtlich gut geeignet, solange keine Entfernung \( l_k = 0 \) vorliegt. Liegen beide Punkte deckungsgleich, kann keine lokale Ableitung und damit keine „Richtung“ mehr abgeleitet werden. Ein möglicher Denkfehler könnte lauten, in diesem Fall ist doch bereits der Zielzustand erreicht. Als nicht störend. Das Problem: solange noch „Energie“ im Gesamtnetz vorliegt, werden genau jetzt die Punkte wieder auseinandergezogen. Im nächsten Schritt liegen wieder lokale Ableitungen vor. Die Punkte bewegen sich wieder aufeinander zu. Das Netz beginnt zu oszillieren.
Im ersten Teil wurde auch das Beispiel einer Bedingungsgleichung eingeführt, zwei Punkte sollen als Lot übereinanderliegen. Es wurde dabei bereits als Beispiel für eine UNBRAUCHBARE Modellierung gezeigt:
\[
g(k) =\sqrt{(x_i – x_j)^2 + (y_i – y_j)^2} = 0
\]
Nun wird auch ersichtlich, warum. Genau im Zielzustand \(g_k = 0 \) versagen die lokalen Ableitungen. Dieses Dilemma ist bei der geodätischen Ausgleichungsrechnung keineswegs selten. Einerseits möchte man statistisch korrekt modellieren, andererseits macht hier die Numerik oft einen Strich durch die Rechnung.
In unserem Fall ist eine übliche bewährte Lösung eine Splittung in zwei Gleichungen:
\[
\begin{aligned}
x_i – x_j = 0 \\
y_i – y_j = 0
\end{aligned}
\]
Diese Lösung ist numerisch robust, da ohne Singularitäten und linear.
In anderen Fällen muss der Preis der Erwartungstreue gar nicht gezahlt werden. Im Beitrag „Einsatz von Transformationsmatrizen in der Technik von Vermessungsgeräten“ wurden die inhomogene und homogene Form von Quaternionen zur Modellierung von Rotationen gezeigt:
Inhomogene Form (häufig in der Computergrafik /-geometrie):
$$
M_R =
\left(
\begin{array}{cccc}
1 – 2 \left( {q_y}^2 + {q_z}^2 \right) & 2 \left( q_x q_y – q_w q_z \right) & 2 \left( q_w q_y + q_x q_z \right) & 0 \\
2 \left( q_x q_y + q_w q_z \right) & 1 – 2 \left( {q_x}^2 + {q_z}^2 \right) & 2 \left( q_y q_z – q_w q_x \right) & 0 \\
2 \left( q_x q_z – q_w q_y \right) & 2 \left( q_w q_x + q_y q_z \right) & 1 – 2 \left( {q_x}^2 + {q_y}^2 \right) & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{array}
\right)
$$
Homogene Form (Vermessungswesen):
$$
M_R =
\left(
\begin{array}{cccc}
{q_w}^2 + {q_x}^2 – {q_y}^2 – {q_z}^2 & 2 \left( q_x q_y – q_w q_z \right) & 2 \left( q_w q_y + q_x q_z \right) & 0 \\
2 \left( q_x q_y + q_w q_z \right) & {q_w}^2 – {q_x}^2 + {q_y}^2 – {q_z}^2 & 2 \left( q_y q_z – q_w q_x \right) & 0 \\
2 \left( q_x q_z – q_w q_y \right) & 2 \left( q_w q_x + q_y q_z \right) & {q_w}^2 – {q_x}^2 – {q_y}^2 + {q_z}^2 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{array}
\right)
$$
Zu sehen ist der minimal höhere Rechenaufwand, welcher die Rotationsmatrix bei \( |q| \neq 1 \) stabil hält.
Natürlich sollte der Betrag des Quaterions bei 1 liegen. Aber im numerischen Sinne absolut 1 ist in der Regel nicht möglich. Die Gründe dafür sind ein Thema des nächsten Teils dieser Reihe, der sich mit den Unterschieden in den Modellierungen der funktionalen Modelle beschäftigt.